Теорема Вариньона – достойная внимания тема для рассмотрения в 8 классе на уроках геометрии. Но ее почему-то зачастую обходят стороной в непрофильных классах. А ведь это красивейшая опорная задача, которая помогает решить , что называется, в один присест, массу планиметрических задач , в том числе повышенной сложности и олимпиадных.
В данной статье ликвидируем эту несправедливость и познакомимся с теоремой Вариньона и ее применением к задачам на параллелограмм Вариньона .
Теорема Вариньона
Доказательство.
Пусть точки K, L, M, N являются серединами сторон четырехугольника ABCD.
Тогда KL ǁ AC и KL=1/2 AC, MN ǁ AC и MN = 1/2 AC (по свойству средней линии треугольника).
Значит, KL ǁ MN и KL = MN.
То есть, KLMN – параллелограмм.
Определение:
Задача1 .
Доказать, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырехугольника ABCD.
Доказательство.
Так как KL = MN = 1/2 AC и LM = KN = 1/2 BD, то PKLMN = AC + BD.
Задача 2.
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, называются средними линиями. Доказать, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство.
Поскольку средние линии KM и LN четырехугольника ABCD являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.
Задача 3.
Правильно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии четырехугольника и отрезков, вдвое меньших от его диагоналей?
Решение.
Правильно, так как параллелограмм Вариньона существует для произвольного выпуклого четырехугольника.
Например, условие задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN.
Задача 4.
Построить ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.
Решение.
Поскольку диагонали прямоугольника равны, параллелограмм Вариньона и будет искомым ромбом для прямоугольника ABCD.
Итак, мы рассмотрели решения некоторых интересных задач. И убедились: теорема Вариньона не только помогает оригинально, быстро и красиво решать задачи, но и открывать ( а также доказывать) новые свойства четырехугольников.
Другие задачи на применение теоремы Вариньона можно скачать здесь.
Раньше в школе это не изучали как теорему Вариньона. Изложено просто и понятно. Спасибо, очень интересно.
Людмила, эту теорему раньше не изучали, выделяя отдельно как мы привыкли. Но она шла как одна из опорных задач. И учитель самостоятельно мог формулировку выделить в отдельную теорему и обратить на это внимание ребят.
Очень интересная статья. Материал можно использовать для ученических проектов
Спасибо!
Спасибо большое. Доходчиво и интересно.