Как запомнить формулы тригонометрии.

Известно, что учащиеся испытывают затруднения при использовании формул, особенно формул тригонометрии, так как плохо из запоминают. Справочники, к которым обращаются при необходимости иметь дело с тригонометрическими преобразованиями, оказываются малоэффективными.

Тому, кто не выучил в свое время формул тригонометрии, не понял последовательности их вывода, вся масса формул в справочнике кажется «на одно лицо». Выбрать из них нужную такой ученик не может, значит, не может и сделать простейших преобразований.

Немногие учителя, надо отметить, стараются облегчить школьникам процесс запоминания. А ведь это можно сделать, если знать хотя бы самые общие зако-номерности запоминания формул тригонометрии.

Так, в психологии установлено, что успешному запоминанию учебного материала способствуют следующие условия:

• активная мыслительная деятельность, направленная на углубленное понимание материала,
• установка на необходимость прочного и точного запоминания,
• всевозможные видоизменения материала при его повторении.

Для запоминания сложных тригонометрических формул может пригодиться таблица-“дерево”.

[pwal id="26896563" description="Чтобы увидеть таблицу-дерево и СКАЧАТЬ ее, пожалуйста, нажмите одну из кнопок социальных сетей."]

Эту таблицу можно скачать по ссылке.

[/pwal]

Она изображена на фоне дерева, у которого в основании ствола находятся четыре основные формулы. Самая главная из них выделена жирным шрифтом. Равенством -β=+(-β) мы пользуемся, когда надо перейти от косинуса суммы к косинусу разности и от синуса суммы к синусу разности.

С помощью выкладок:

мы получаем вторую из основных формул. Аналогично из формулы синуса суммы получается формула для синуса разности.
Дерево имеет два ствола, символизирующих два набора формул, которые оба исходят из основных. Складывая (вычитая) равенства, «лежащие в основании дерева», которые охвачены фигурными скобками, мы получаем формулы для произведения косинусов, произведения синусов, произведения синуса на косинус. Стрелки, идущие от фигурных скобок, подсказывают ученику ход преобразований.
С помощью подстановок, записанных оранжевым цветом, от нижних формул правого ствола мы переходим выше, к формулам суммы косинусов, разности косинусов и т. д.
В самом деле, подставим обозначения

в формулу

Получим

Отсюда

Рассмотрим теперь другой ствол. Равенство α+α=2α подсказывает, как воспользоваться основными формулами для вывода формул двойного аргумента. Обычно они легко выводятся и хорошо запоминаются, поэтому для двух формул воспроизведены только их левые части — как напоминание самого факта существования этих формул.

Выше оранжевым цветом приведены две вспомогательные формулы

cos²x+sin²x=1  и  cos²x-sin²x=cos2x  для  x=α/2.

Ломаная стрелка показывает, что от формул в оранжевой рамке можно перейти к формулам для 1+cosα, 1—cosα. Эти формулы (они выделены волнистой рамкой) часто применяются в тождественных преобразованиях.

Нередко встречается также необходимость выразить  cos² α и sin²α через косинус двойного угла. Соответствующие формулы почти идентичны, различие только в одном знаке. Он и стоит в соответствующем блоке между двумя многоточиями, которые говорят о том, что в формулу для  cos²α надо переписать слагаемые из вышеприведенной формулы.

Левый ствол тригонометрических функций двойных углов постепенно преобразуется в крону из формул для функций половинных углов. Руководствуясь стрелками, учащиеся выведут формулу для соs(α/2) и для sin(α/2). А искусственный прием, зафиксированный вверху оранжевым цветом, поможет вывести формулу для tg(α/2).

Приведенная таблица отвечает данным выше рекомендациям.

В самом деле, весь список формул разделен на блоки (основание дерева, стволы, кроны), которые обеспечивают запоминание целой группы формул в соответствии с рекомендацией 1.

Стрелки и сама конфигурация таблицы («дерево») устанавливают связь одного блока с другим и облегчают запоминание последовательности их вывода (см. рекомендацию 2).

Таблица-«дерево» привлекает внимание, заставляет ученика рассматривать ее, вызывает у него любопытство. (А что там дальше, на другом стволе?)

Такой эмоциональный отклик учащегося облегчает учителю трудную задачу: внушить ученику мысль о необходимости твердо знать формулы.

Таким образом, работа с предлагаемой таблицей способствует запоминанию трудного, но полезного материала.

Огромной помощью  в запоминании формул тригонометрии для ученика может служить Мини-курс “Как запомнить 35 формул тригонометрии легко и надолго”.