Как появились логарифмы |

Как появились логарифмы

Открытие логарифмов и применение их в вычислительной практике — один из важнейших фактов в истории математики.

Изобретение логарифмов было во многом стимулировано быстрым развитием астрономии в XVI в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением вычислений.

По словам великого французского математика, механика, астронома и физика П. Лапласа (1749—1827), «изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Подготовка учения о логарифмах связана с развитием идеи об упрощении вычислений с помощью сопоставления членов геометрической и арифметической прогрессий, истоки которой мы находим еще у Архимеда (ок. 287—212 гг. до н. э.). Немаловажную роль в этом процессе сыграло и постепенное расширение понятия степени. Н. Орем (1323— 1382) в труде «Алгоризм пропорций» фактически обобщил действие возведения в степень на положительные дробные показатели, что было важным достижением средневековой алгебры.

Другой французский математик Н. Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) в сочинении «Наука о числе» (написано в 1484 г., вышло в свет только в 1848 г.) впервые применил отрицательные и нулевой показатели. У него же мы вновь находим сопоставление арифметической и геометрической прогрессий, например:

Н. Шюке указывал также на то, что произведению двух членов геометрической прогрессии соответствует член арифметической прогрессии, равный сумме ее членов, соответствующих множителям.

Михаэль Штифель

Вполне отчетливо идея о сопоставлении геометрической и соответствующей арифметической прогрессий была дана во «Всеобщей арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля (1487 – 1567). Он обращает особое внимание на связь между операциями, производимыми, с одной стороны, над членами геометрической прогрессии, и, с другой стороны, над членами сопоставленной с ней арифметической прогрессии. Штифель устанавливает, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют сложение, вычитание и деление в арифметической прогрессии. У Штифеля очень ясно выражена идея о возможности использовать подмеченные закономерности в вычислениях. Ему принадлежит термин показатель (ехропепs). Он уже пользуется дробными, отрицательными и нулевым показателями.

В некотором смысле одним из предшественников составителей таблиц логарифмов был голландский математик и инженер С. Стевин (1548—1620). Он издал таблицу сложных процентов, т. е. значений чисел (1 + r)ⁿ при различных значениях г=0,05; 0,04; …, которая могла бы быть с успехом применена к вычислениям при помощи логарифмов. Но у самого Стевина об этом не было и речи. Таким образом, ни у Штифеля, ни у Стевина еще нет логарифмов в полном смысле этого слова.

Джон Непер

Логарифмы были изобретены независимо друг от друга шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552— 1632). Они первыми составили таблицы логарифмов, исходя при этом из разных теоретических основ. Вместо сопоставления двух рядов чисел Непер при подходе к общему определению логарифма начинает с сопоставления непрерывного движения двух точек по двум прямым.

Подход Непера можно схематично описать следующим образом.

Рассмотрим две прямые а и b. На прямой а отметим точки 0 и 1, на прямой b — точку 0. Пусть по прямой а от точки 1 к точке 0 движется точка S с убывающей скоростью, которая в каждый данный момент пропорциональна длине отрезка OS. Точка L движется по прямой b от точки 0 (см. рис. выше) с постоянной скоростью. В одни и те же моменты времени каждому положению точки S на прямой а соответствует некоторое положение точки L на прямой b. Расстояние l между точками L и O Непер называет логарифмом расстояния s между точками S и O. Если взять ряд последовательных малых промежутков времени, то для них значения s убывают в геометрической прогрессии, а значения l растут в арифметической прогрессии. «Схема малых промежутков» сделала возможным переход к непрерывному изменению в обоих параллельных рядах (*) и построение соответствующего вычислительного аппарата, позволяющего составлять таблицы с нужной степенью точности. Таким образом, Непер дал фактически кинематическое выражение для логарифмической функции, вступив тем самым в почти не исследованную область теории функций. Бюрги же продолжал, вслед за Штифелем, сопоставлять дискретные прогрессии.

Д. Непер вывел основные свойства логарифмов и вычислил обширные таблицы, над которыми трудился около 20 лет. Таблицы Непера содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через 1 мин. У Непера радиус круга равнялся 10⁷, поэтому sin 90° был равен 10⁷, а на него часто приходилось умножать. Для облегчения вычислений Непер определил свои логарифмы так, чтобы логарифм 10⁷ был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10⁷, у него положительны. Если неперовский логарифм числа N обозначить через LN, то в современных обозначениях будем иметь: LN = 10^7.ln (10⁷ : N) где ln — натуральный логарифм.

Свойства логарифмов Непера несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем понимании, так как у него логарифм единицы отличен от нуля (L1 = 10^7.Ln 10⁷).

Йост Бюрги

Скажем теперь несколько слов о таблицах Бюрги. Мы уже упоминали, что подход Бюрги состоял в параллельном вычислении членов арифметической прогрессии (эти числа в таблице Бюрги печатались красным цветом и назывались красными) и геометрической прогрессии (эти числа печатались черным цветом и назывались черными). Прогрессии Бюрги таковы:

В геометрической прогрессии множитель 10⁸ взят для того, чтобы избежать запятых в таблице. Основанием таблиц служит число а, для которого показатель степени равен 1. Его нетрудно определить. В самом деле, сравнив вторые члены обеих указанных выше прогрессий, нетрудно видеть, что

Бюрги составил свои таблицы в первое десятилетие XVII в., но опубликованы они были позже таблиц Непера. Работы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619), а также выпущенные Бюрги «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) немедленно привлекли внимание математиков к теории логарифмов и к их вычислению.

Одним из первых, кто понял чрезвычайную важность изобретения логарифмов и одновременно их недостаточную разработанность для практики, был английский математик Г. Бригс (1561 —1631). Он установил личные контакты с Непером и не без влияния последнего начал работу над собственными таблицами. Бригс вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значнке (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. По его имени десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Бригс ввел термин характеристика.

Таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 10 000 издал в 1628 г. голландец А. Влакк (1600—1667). Они легли в основу большинства последующих таблиц, причем их авторы внесли много изменений в структуру таблиц и поправок в вычисления. У самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега (1756—1802) в 1783 г.— пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 г. немецкий математик К. Бремикер (1804—1877).

В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 г. при участии Леонтия Магницкого (1669—1739).

Значительный вклад в развитие теории логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1584—1667). В 1647 г. он установил связь между логарифмами и площадью области, ограниченной гиперболой, ее асимптотой и прямой, параллельной другой асимптоте гиперболы.

Следующий шаг в развитии теории логарифмов связан с бесконечными степенными рядами. Так, немецкий ученый Н. Меркатор (1620—1687) установил, что Ln ( 1+ x ) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 + … Ему принадлежит термин «натуральный логарифм».

Шотландский математик Д. Грегори (1638—1675) нашел разложение,

которое может быть использовано для вычислений логарифмов, так как полученный ряд очень быстро сходится, если М=N+1 и N достаточно велико. Меркатор ввел понятие о модуле перехода.

Леонард Эйлер

Дальнейшее развитие понятия логарифма и связанной с ним теории связано с трудами Л. Эйлера (1707—1783). Он впервые исследовал показательную и логарифмическую функции при комплексных значениях аргумента, установил многозначность функции ln z в комплексной области. Эйлер разработал также понятие о логарифмировании как о действии, обратном возведению в степень, ввел термины мантисса и основание логарифма.

Современное определение логарифма впервые было дано английским математиком В. Гардинером. В своем руководстве, изданном в Лондоне в 1742 г., он ввел определение логарифма как показателя степени данного основания и на этой основе дал систематическое изложение теории Логарифмов.

Знак логарифма появился вместе с первыми таблицами. Знак «Log» с 1624 г. встречается у И. Кеплера (1571 — 1630), а с 1631 г.— у Бригса; знак «L» в 1624 г. применял немецкий математик Б. Урзинус (1587—1633); знаки «log» и «1» использовал итальянский математик Б. Кавальєри (1598—1647).

Отмечая неоценимую услугу, оказанную таблицами логарифмов в качестве вспомогательного средства для вычислений, следует сказать, что значение введения понятия логарифма как функциональной связи между переменными величинами в полной мере было выяснено только с созданием анализа бесконечно малых.

В настоящее время в связи с появлением ЭВМ роль логарифмов в проблемах вычислительной математики существенно изменилась.

Чтобы подробнее познакомиться с историей возникновения логарифмов и неоценимым вкладом ученых в развитие теории логарифмов, рекомендую следующую литературу: